この度、別のブログと統合することになりました。

新しいブログはこちら。

今現在は移転の作業中です。

中1数学④～⑧の記事に画像を追加するなどして、補足をしました。

中1数学①～③の記事に画像などを追加しました。

また、数Ⅰ、A、Ⅱ、Bのカテゴリーの記事で、センター試験に関連にある項目は画像などで補足しました。

ベクトルa, bの内積の値は？
ベクトルb,cの内積の値は？
ベクトルa,cの内積の値は？

直線AMと直線MNが垂直になるときの辺ABの長さはいくつか。

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ベクトルの内積を求めるには
①ベクトルの成分を利用する
②cosを利用する
という2つのやり方がありますが、ベクトルの成分というのは今回の問題には出てきてないので、②のcosを利用して内積を求めていきます。

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ベクトルa,bのなす角をθとすると：

となります。

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ただし、それぞれの内積のcosθの値はわかっていないので、これを求めなければなりません。
どうするかというと、余弦定理を利用します。

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△OABに関して余弦定理を利用すると（∠OABをθとする)：
(2r)^2 = 1^2 + 1^2 -2×1×1×cosθ
（OAの長さは、△OBC≡△OADより、OBの長さと等しいので、1です）
これを cosθについて解くと：
cosθ　= 1-2r^2
です。

したがって、｜a｜＝1, ｜b｜＝1, cosθ=1-2r^2 ですので：
a・b　＝　1×1×（1-2r^2) = 1-2r^2

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内積b・cを求めていきます。

△OBCについて、∠OBCをθとして、余弦定理を利用すると：
2^2 = 1^2 + (√3)^2 -2×1×√3×cosθ
cosθについて解くと：
cosθ＝0
です。

よって、
ｂ・ｃ＝0
になります。

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内積a・cを求めていきます。

ACというのは長方形の対角線なので、△ABCに三平方の定理を利用し、
AC = √(4r^2 +4)
です。

△OACについて、∠OACをθとし、余弦定理を利用すると：
{√(4r^2 +4)}^2 = 1^2 + (√3)^2 -2×1×√3×cosθ
これをcosθについて解くと：
cosθ　= －(2/√3）r^2

これと,｜a｜＝１、｜c｜＝√3を利用して：
a・c　＝　1×√3×{－(2/√3）r^2}　＝　－2r^2

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次にベクトルAMとベクトルMNの内積を求めていきます。

なぜ、内積を求めるかというと、AMとMNが「垂直」であるからです。ベクトルの問題で「垂直」という言葉が出てきたら：
2つのベクトルが垂直　⇔　2つのベクトルの内積は0
というのを利用することがほとんどです。

ここで、
AM=　OM　－OA　＝b/2 -a 　(MはOBの中点なのでb/2書けます）
MN= ON - OM = (1/4)c - b/2 (ONは前の問題部分で求めてありました）
と置けるので：
AM・MN　＝　(b/2 -a)・{(1/4)c - b/2}
　　　　　＝　 (1/8)b・c -(1/4)｜b｜^2 -(1/4)a・c +(1/2)a・b

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（内積の性質を使って展開していきました。
内積の性質：

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ここで、前の問題部分で求めたそれぞれの内積の値を代入すると：
AM・MN　＝　1/4 -(1/2)r^2
となります。

垂直ということは、この内積が0ということですから：
0 = 1/4 -(1/2)r^2
というのをr＞0というのに注意して、ｒについて解くと：
r = 1/√2
になります。

ABの長さは2rですので：
AB = 2×(1/√2) = √2

四角錐OABCDにおいて、三角形OBCと三角形OADは合同で、
OB=1
BC=2
OC=√3
であり、底面の四角形ABCDは長方形である。

AB＝2r　とおく。
ベクトルOA＝ベクトルa
ベクトルOB＝ベクトルb
ベクトルOC＝ベクトルc
とおく。

ベクトルODをベクトルa, b,c を使って表すとどうなるか。

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OD　＝　OC＋CD
です。
ここで、OCはcと置けますが、CDをどうにかa,b,cで表さなければなりません。

四角形ABCDは長方形であるので、CD=BA。
ベクトルBA＝OA－OB=a-b
よって：
OD＝c+a-b
=a-b+c
です。

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辺ODを1:2に内分する点をLとすると、ベクトルALはどのように表すことができるか。


内分点の位置ベクトルの公式を使います。
下線文
位置ベクトルa,bを結んだ線分をm:nに内分する位置ベクトルは：

となります。

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点Oは零ベクトルと考えることができますから：
OL＝(2・0+ 1・OD) / (1+2) = (1/3)・OD
です。

ここで、ODというのは前の問題で求めてあるのでそれを代入すると：
(1/3)a-(1/3)b+(1/3)c
です。

また、ベクトルAL＝OL-OA　であるので、
AL = (1/3)a-(1/3)b＋(1/3)c –a = -(2/3)a-(1/3)b＋(1/3)c
となります。

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辺OBの中点をM、3点A,L,Mの定める平面をαとする。
平面αと辺OCとの交点をNとする。

点Nは平面α上にあることから、ベクトルANは実数s,tを用いて、
ベクトルAN=s・ベクトルAL＋t・ベクトルAM
と表すことができる。

ベクトルONはどう表すことができるか。

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ON=OA＋AN
です。
OAはaですので、ANをa,b,cを使って表すようにします。

AL=-(2/3)a-(1/3)b+(1/3)c　（前の問題より）

AM＝OA＋OM
OMはOBの中点であるのでb/2
よって
AM=a+(b/2)

AN＝sAL+tAMですので
s{(-2/3)a-(1/3)b+(1/3)c} +t{(a+(b/2)}

したがって：
ON = a + {s-(2/3)a-(1/3)b+(1/3)c} + t{a+(b/2)}

これを整理すると：
ON=　{1-(2/3)s-t}a + (-s/3+ t/2)b + s/(3c)
です。

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一方、点Nが辺OC上にあることから、ベクトルONはベクトルcを用いてどう表すことができるか。

ONが辺OC上にあるとは、ON=kc と書けるような定数kがあるということです（同じことですが、ONをある定数倍したらｃになる、と考えてもよいです）。

ONは先ほどの問題でa,b,cを使って表しました。このとき、aとbの係数が0になるようなsとtを求めればよいことになります(cの係数を見るとs/3となっているので、sの値だけがわかれば問題は解けます)。

よって、連立方程式：
・1-(2/3)s-t　=0
・-s/3+ t/2 =0
を解けばよいです。

これを解くと：
s = 3/4
t = 1/2

したがって：
s/3 = 1/4

ON = (1/4)c